Rabu, 23 September 2015

Garis Proyeksi pada Segitiga


Panjang garis proyeksi sisi di hadapan sudut lancip      d = b2 + c2 – a2
 

                   2c     

c – d = a2+ c2– b2
                        2c

 
       b2 = h2 + d2

        a2 = h2 + (c – d)2

b2 – a2 = d2 – (c – d)2

b2 – a2 = (d + c – d)(d – c + d)

b2 – a2 = c(2d – c)

 2d – c = b2 – a2

                   c

       2d = b2 – a2  +  c2

                   c            c

       2d = b2 + c2 – a2

                       c

         d = b2 + c2 – a2

 

                      2c      

Panjang garis proyeksi sisi di hadapan sudut tumpul    p = b2 + c2 – a2 

                 2c     

        b2 = CD2 + p2
          a2 = CD2 + (p – c)2

b2 – a2 = p2 – (p – c)2
b2 – a2 = (p + p – c)(p – p + c)
b2 – a2 = (2p – c)c
 2p – c = b2 – a2

                   c
       2p = b2 – a2  +  c2

                    c            c

       2p = b2 + c2 – a2

                       c

         p = b2 + c2 – a2

 

                      2c      

Contoh Soal

Diketahui :
a = 3
b = 5

Tentukan panjang  c  jika  c – d = 2 !

Pembahasan :

          c – d = a2+ c2– b2
                                      2c
                2 = 9 + c2– 25
                             2c
              4c = c2– 16
c2– 4c – 16 = 0

Dengan rumus kuadrat, didapatkan :

c = 2(√5 + 1) satuan panjang

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Selasa, 22 September 2015

Teorema Heron


Teorema Heron adalah rumus untuk menentukan luas suatu segitiga dengan menggunakan panjang ketiga sisi segitiga tersebut.

Teorema Heron dirumuskan :

L =  √s(s – a)(s – b)(s – c)

Dengan  a, b, c  merupakan panjang sisi-sisi segitiga dan  s = a + b + c = Kll  

                                                                                                    2              2


                                                                                                            
    • Pembuktian Teorema Heron lewat Teorema Pythagoras 
            b2 = h2 + d2
            a2 = h2 + (c – d)2
    b2 – a2 = d2 – (c – d)2
                = (d + c – d)(d – c + d)
    b2 – a2 = c(2d – c)
     2d – c = b2 – a2
                       c
           2d = b2 – a2  +  c2
                       c            c
           2d = b2 + c2 – a2
                           c
             d = b2 + c2 – a2
     
                          2c                      
                                                                                                    
                                            

    b2 = h2 + d2
    h2 = b2 – d2
        = (2bc)2  –  (b2 + c2 – a2)2
               (2c)2              (2c)2
        = (2bc)2 – (b2 + c2 – a2)2
                         (2c)2
        = (2bc + b2 + c2 – a2)(2bc – b2 – c2 + a2)
                                       (2c)2
        = ((b + c)2 – a2)(a2 – (b – c)2)
                              (2c)2
    h2 = (b + c + a)(b + c – a)(a – b + c)(a + b – c)
                                           (2c)2                               
    h  = √2s(2s – 2a)(2s – 2b)(2s – 2c)
                                 2c

        = √24 • s(s – a)(s – b)(s – c)
                              2c
        = 4√s(s – a)(s – b)(s – c)
                           2c
    h  = 2√s(s – a)(s – b)(s – c)

                           c                                
                                                                                                     

    L =  1  × c × h
           2
       =  1  × c × 2√s(s – a)(s – b)(s – c)
           2                            c
    L = √s(s – a)(s – b)(s – c)

                                                                                                      
    • Pembuktian Teorema Heron lewat Identitas Trigonometri
    Sudut  A  adalah sudut yang berada di hadapan sisi  a

    cos A  =  d
                   b
    cos A  =  b2 + c2 – a2

                         2bc
                                                                                       

    sin2 A  =  1 − cos2 A
               =  (2bc)2   −   (b2 + c2 – a2)2
                   (2bc)2               (2bc)2
               =  (2bc)2 – (b2 + c2 – a2)2
                                 (2bc)2
               =  (2bc + b2 + c2 – a2)(2bc – b2 – c2 + a2)
                                             (2bc)2
               =  ((b + c)2 – a2)(a2 – (b – c)2)
                                     (2bc)2
    sin2 A  =  (b + c + a)(b + c – a)(a – b + c)(a + b – c)
                                                  (2bc)2
    sin A   =  √2s(2s – 2a)(2s – 2b)(2s – 2c)
                                       2bc
               =  √24 • s(s – a)(s – b)(s – c)
                                    2bc
               =  4√s(s – a)(s – b)(s – c)
                                 2bc
    sin A   =  2√s(s – a)(s – b)(s – c)

                                  bc
                                                                                          

    L =  1  bc sin A
           2
       =  1  bc  2√s(s – a)(s – b)(s – c)
           2                        bc
    L = √s(s – a)(s – b)(s – c)

                                                                                           

    Soal dan Pembahasan

    1. Tentukan luas segitiga dengan panjang sisi 2 cm, 2√3 cm, dan 4 cm!

    2. Sebuah segitiga memiliki luas 6√11 cm2. Jika panjang sisi pertamanya 5 cm dan sisi ke-duanya 8 cm, tentukan panjang sisi ke-tiga!

    Pembahasan :

    1.  s  =  2 + 2√3 + 4
                         2
             =  3 + √3 

     
    L =  √(3 + √3)(√3 + 1)(3 − √3)(√3 – 1)
     
       =  √((3 + √3)(3 − √3))((√3 + 1)(√3 – 1))
     
       =  √(9 – 3)(3 – 1)
     
       =  √12
     
       =  2√3 cm2
     
     
    2.  s  = 13 + c
                    2
           

       (13 + c)(c + 3)(c – 3)(13 – c)    =   (6√11)2
            (2)       (2)      (2)       (2)
    ((13 + c)(13 – c))((c + 3)(c – 3))  =  6.336
                            (169 – c2)(c2 – 9)  =  88 × 72
    169 – c2  = 88
       c2 – 9   = 72

    c2 = 81
     c = 9 cm

    Diposting oleh di Tidak ada komentar:
    Langganan: Postingan (Atom)