Teorema Heron adalah rumus untuk menentukan luas suatu segitiga dengan menggunakan panjang ketiga sisi segitiga tersebut.
Teorema Heron dirumuskan :
L = √s(s – a)(s – b)(s – c)
Dengan a, b, c merupakan panjang sisi-sisi segitiga dan s = a + b + c = Kll
2 2
- Pembuktian Teorema Heron lewat Teorema Pythagoras
a2 = h2 + (c – d)2
b2 – a2 = d2 – (c – d)2
= (d + c – d)(d – c + d)
b2 – a2 = c(2d – c)
2d – c = b2 – a2
c
2d = b2 – a2 + c2
c c
2d = b2 + c2 – a2
c
d = b2 + c2 – a2
2c
b2 = h2 + d2
h2 = b2 – d2
= (2bc)2 – (b2 + c2 – a2)2
(2c)2 (2c)2
= (2bc)2 – (b2 + c2 – a2)2
(2c)2
= (2bc + b2 + c2 – a2)(2bc – b2 – c2 + a2)
(2c)2
= ((b + c)2 – a2)(a2 – (b – c)2)
(2c)2
h2 = (b + c + a)(b + c – a)(a – b + c)(a + b – c)
(2c)2
h = √2s(2s – 2a)(2s – 2b)(2s – 2c)
2c
= √24 • s(s – a)(s – b)(s – c)
2c
= 4√s(s – a)(s – b)(s – c)
2c
h = 2√s(s – a)(s – b)(s – c)
c
L = 1 × c × h
2
= 1 × c × 2√s(s – a)(s – b)(s – c)
2 c
L = √s(s – a)(s – b)(s – c)
- Pembuktian Teorema Heron lewat Identitas Trigonometri
cos A = d
b
cos A = b2 + c2 – a2
2bc
sin2 A = 1 − cos2 A
= (2bc)2 − (b2 + c2 – a2)2
(2bc)2 (2bc)2
= (2bc)2 – (b2 + c2 – a2)2
(2bc)2
= (2bc + b2 + c2 – a2)(2bc – b2 – c2 + a2)
(2bc)2
= ((b + c)2 – a2)(a2 – (b – c)2)
(2bc)2
sin2 A = (b + c + a)(b + c – a)(a – b + c)(a + b – c)
(2bc)2
sin A = √2s(2s – 2a)(2s – 2b)(2s – 2c)
2bc
= √24 • s(s – a)(s – b)(s – c)
2bc
= 4√s(s – a)(s – b)(s – c)
2bc
sin A = 2√s(s – a)(s – b)(s – c)
bc
L = 1 bc sin A
2
= 1 bc 2√s(s – a)(s – b)(s – c)
2 bc
L = √s(s – a)(s – b)(s – c)
Soal dan Pembahasan
1. Tentukan luas segitiga dengan panjang sisi 2 cm, 2√3 cm, dan 4 cm!
2. Sebuah segitiga memiliki luas 6√11 cm2. Jika panjang sisi pertamanya 5 cm dan sisi ke-duanya 8 cm, tentukan panjang sisi ke-tiga!
Pembahasan :
1. s = 2 + 2√3 + 4
2
= 3 + √3
2. s = 13 + c
2
Pembahasan :
1. s = 2 + 2√3 + 4
2
= 3 + √3
L = √(3 + √3)(√3 + 1)(3 − √3)(√3 – 1)
= √((3 + √3)(3 − √3))((√3 + 1)(√3 – 1))
= √(9 – 3)(3 – 1)
= √12
= 2√3 cm2
2. s = 13 + c
2
(13 + c)(c + 3)(c – 3)(13 – c) = (6√11)2
(2) (2) (2) (2)
((13 + c)(13 – c))((c + 3)(c – 3)) = 6.336
(169 – c2)(c2 – 9) = 88 × 72
169 – c2 = 88
c2 – 9 = 72
c2 = 81
c = 9 cm
Tidak ada komentar:
Posting Komentar